PDE 残差损失

是什么

给定 PDE N[u] = 0，把网络输出 u_θ 代入得到 r = N[u_θ]， 损失取 L_res = mean(r²)，在配置点（collocation points）上求均值。 导数由自动微分精确给出，不需要网格差分，这是 PINN 能在无网格下工作的根本原因。

关键要点

• 损失项需要加权：数据项、残差项、边界项量级差异可达数个数量级，权重不当会导致某一项被完全忽略。
• 配置点采样：均匀随机是基线，梯度大的区域加密（残差自适应采样/RAR）通常显著改善收敛。
• 高阶导数代价大：二阶及以上导数的 AD 图很占显存，可用一阶系统化或随机维度方法降本。
• 残差损失只是软约束，训练结束时残差不为零，务必单独报告残差量级作为物理一致性指标。

常见误区 / 边界

• 训练损失下降不等于解正确：可能出现”损失很低但解完全错”的失效模式，必须用独立解做验证。
• 强非线性方程（如高雷诺数 NS）的残差地形极其崎岖，需要课程学习或先易后难的训练策略。