反问题

是什么

正问题：已知参数 p → 求场 u。反问题：已知部分观测 u_obs → 求 p。 反问题通常不适定（Hadamard 意义）：可能解不唯一（不同参数产生相同观测）， 或对观测噪声极度敏感（解不连续依赖数据）。

关键要点

• 正则化是必需的：Tikhonov 正则、稀疏先验、物理约束、贝叶斯先验——本质都是引入额外信息把不适定变成适定。
• AI 的两大价值：(a) 用代理模型把昂贵正问题变便宜，使优化/采样可行；(b) 用可微求解器拿到精确梯度，替代有限差分。
• PINN 的天然优势：解是解析可微的，参数与解可联合优化，反演实现非常简洁。
• 必须给出不确定性：反演结果应配套后验分布或置信区间，单点估计往往误导。

常见误区 / 边界

• 反演”拟合得上”不代表”参数对”——不唯一性意味着可能有另一组参数拟合得同样好。
• 观测噪声、观测点布局、正则权重三者共同决定结果，灵敏度分析不可省略。